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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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7. Calcule los siguientes límites
e) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1-2^{x})^{\sin(x)}$

Respuesta

Queremos resolver este límite:

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1-2^{x})^{\sin(x)}$

Si arrancamos haciendo un análisis de la situación, estamos frente a una indeterminación de tipo $0^0$. Honestamente, esta indeterminación aparece acá en la guía pero jamás vi que tomen este tipo de límites en un parcial o final, por eso en las clases del curso no vimos ningún ejemplo como este. Ya que estás acá, aprovechamos y te muestro cómo lo podés resolver. Al igual que en el caso anterior, la clave va a estar en reescribir la expresión para poder usar L'Hopital:

Primero, tomamos el logaritmo natural de la función: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln\left[(1-2^{x})^{\sin(x)}\right]$ Reescribimos usando la propiedad de los logaritmos que permite traer el exponente al frente: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sin(x) \cdot \ln(1-2^{x})$

Ahora tenemos una indeterminación del tipo "cero por infinito". Vamos a reescribir el límite como un cociente para poder aplicar L'Hopital.

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(1-2^{x})}{\frac{1}{\sin(x)}}$

Ahora estamos frente a un "infinito sobre infinito". Aplicamos L'Hopital:

Aclaración: Para calcular estas derivadas tené en cuenta que la derivada de $2^x = 2^x \cdot \ln(2)$

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{-2^{x} \ln(2)}{1-2^{x}}}{-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2^{x} \ln(2) \sin^2(x)}{\cos(x)(1-2^{x})}$

Ahora tenemos un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más (mucho cuidado con estas derivadas, hay que aplicar regla del producto!)

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(2) \sin^2(x) \cdot 2^x \ln(2) + 2^x \ln(2) \cdot 2 \sin(x) \cos(x)}{-\sin(x) (1-2^x)- 2^x \cos(x) \ln(2)} = 0$

Ufff, estuvieron cuentosas estas derivadas. Bueno, obtuvimos el resultado y es $0$. Pero ojo, este no es el resultado del límite, no te olvides que habíamos arrancado tomando el logaritmo natural de la función! Entonces, el límite del logaritmo natural es $0$, y por lo tanto, volviendo a la función original, tenemos:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1-2^{x})^{\sin(x)} = e^0 = 1$
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Avatar Ezequiel 17 de diciembre 13:47
Buenas Flor tengo una pregunta, cuando vos aplicas logaritmo natural, no cambiás la expresión? Provocando que estés evaluando el límite de otra expresión distinta a la pedida en la consigna? 
Porque no aplicas en numerador y denominador, que aún así, no sé si sería coherente digamos.
Avatar Flor Profesor 18 de diciembre 07:52
@Ezequiel Si, al principio "cambiamos la expresión" y por eso estamos calculando otro límite y es importante al final volver para atrás (que es lo que hacemos en el último párrafo) y ahí si obtenemos el resultado del límite original
Avatar Ezequiel 18 de diciembre 14:47
@Flor sí recién llegué al final, ahí lo ví. Gracias.
Avatar ian 26 de mayo 00:26
Hola flor, te hago una pregunta, no termino de leer porque el límite de la función termina siendo igual a "e⁰", por lo que entiendo el 0 viene del límite que tomamos en el logaritmo natural pero el "e" no lo termino de entender
Avatar Flor Profesor 26 de mayo 18:19
@ian Hola Ian! Mirá, te lo pongo así de manera muy informal para que lo veas: 

2024-05-26%2018:18:53_2814854.png

Tranqui igual con esto, jamás vi en los parciales de los últimos años que aparezca una derivada de este estilo! :)
Avatar tomas 15 de mayo 14:55
Buenas flor, una consulta cuando derivas en 0/0 utilizando la regla del producto, no lo entiendo, por ejemplo no queda igualmente el dos a la x, o lo resolviste directamente? gracias! 
Avatar tomas 15 de mayo 14:59
y también esto, me pierdo a la hora de "acomodar". gracias nuevamente! 2024-05-15%2014:59:08_9477764.png
Avatar Flor Profesor 16 de mayo 09:52
@tomas Hola Tomi! Respondo a tus dos dudas: 

Primero, nosotros en la tabla habíamos visto cómo derivar cuando teníamos $e^x$ (que nos quedaba igual), pero de manera general si vos tenés cualquier número mayor a cero (lo voy a llamar $a$) elevado a la $x$, la derivada te queda así:

$(a^x)' = a^x \cdot \ln(a)$

Por eso en este caso la derivada de $2^x$ nos queda $2^x \cdot \ln(2)$

Por otro lado, para reacomodar acordate que tener esta división:

$\frac{\frac{-2^{x} \ln(2)}{1-2^{x}}}{-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}}$

Lo podés "convertir en una multiplicación" dando vuelta del denominador, y te queda así:

$\frac{-2^x \ln(2)}{(1-2^x} \cdot \frac{\sin^2(x)}{(-\cos(x)} = \frac{2^{x} \ln(2) \sin^2(x)}{\cos(x)(1-2^{x})}$

Avisame si ahí lo pudiste ver!
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